☛ Encadrements de cosinus et sinus

Propriété

Pour tout réel \(x\) , on a \(-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1\)  et \(-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1\) .

Énoncé

Déterminer la limite de \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\cos(x)-1}{x}\) .

Solution

Pour tout réel  \(x\) , on a \(-1\leqslant \cos(x) \leqslant 1\) .
On en déduit que, pour tout réel \(x>0\) , on a \(-\dfrac{2}{x}\leqslant \dfrac{\cos(x)-1}{x} \leqslant 0\) .
\(\lim\limits_{x \to +\infty}-\dfrac{2}{x}=0\)  donc, d'après le théorème des gendarmes, on obtient \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\cos(x)-1}{x}=0\) .

Remarque

Les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en \(-\infty\)  et \(+\infty\) .